几何最值问题
1.如图，点
的正方体左边面的中心，点
是正方体的一个顶点，正
方体的棱长为
，一只蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
分析：将正方体展开，连接
，依据两点之间，线段最短，可知就是最短路径；过点做垂直于正方形的边长，垂足是点
，依据正方形的性质和勾股定理知：
2.如图，正方体盒子的棱长为，
的中点为，一只蚂蚁从点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是
A．
B．
C．
D．
答案：C
分析：将正方体展
开如图所示，连接
，依据两点之间，线段最短，知就是最短路径；在
中，
，故：
3.如图，是高为
的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从点出发，沿角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B
分析：将圆柱延点处展开如下图，依据两点之间，线段最短，可知是需要的最短路径，依据角直角三角形的性质得：
4.已知如图，直角梯形
中，
，
，，，点
在上移动，则当
取最小值时，中边
上的高为__________．
A．
B．
C．
D．
答案：D
分析：过点
作于点，作点关于点的对称点，连接
交于点；
∵，
∴四边形
是矩形
∴
∴在
中，
∴由勾股定理知：
在
中，
，
∴由勾股定理得：
∵
∴
∴
∵
故
在中，
∴
5.如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点
，则线段长度的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B
分析：
取的中点
,取圆与直线的切点为，连接
∵，，
∴
由勾股定理知，是直角三角形[来源:学科网ZXXK]
在中，是的中点，
∴
又∵
∴
∴当点
三点共线且
垂直于时，最小
∴
6.如图所示，正方形的面积为，
是等边三角形，点在正方形内，在对角线
上有一点，使
的和最小，则这个最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
分析：
∵四边形是正方形
∴点关于直线的对称点是点
∴
依据两点之间，线段最短，当三点共线时最小，等于
∵
是等边三角形
∴
7.如图，在锐角中，
，的平分线交于点分别是和上的动点，则
的最小值是___________．
答案：4
分析：过点作于点
∵是的角平分线
∴点关于的对称点正好落在上，连接
∴
依据点到直线的距离，垂线段最短，知的最小值就是
∴
8.已知边长为的正三角形
，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点在第一象限，连结，则的长的最大值是__________．
A．
B．
C．
D．
答案：C
分析：
取的中点，连接
、
在中，，
依据三角形三边性质，
∴当（此时点三点共线）时，最大
∴
9． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为（），点的坐标为（），点为斜边上的一动点，则的最小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
答案：B
分析：如图，作关于的对称点，连接
交于，连接，过 作于，则此时的值最小．
∵ ，
∴
．
∵，
∴， ，．
由勾股定理得：．
由三角形面积公式得：，
即
∴．∴．
∵ ， ，
∴ ，∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴．
由勾股定理得：
．
∵
，∴
．
在 中，由勾股定理得：．
即的最小值是．
所以应选B．
10.已知菱形的两条对角线分别为和，、分别是边、的中点，是对角线上一点，则
的最小值=__________．
答案：5
分析：
作关于的对称点，连接
，交于，连接，此时的值最小，连接，
∵四边形是菱形，
∴
即在上，
∵，
∴，
∵为中点，
∴为中点，
∵为中点，四边形是菱形，
∴，，
∴四边形 是平行四边形，
∴
，
∵四边形是菱形，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得：
，
即，
∴，
故答案为：．
11.（1）察看发现
如图（1）：若点 、 在直线 同侧，在直线上找一点，使的值最小，做法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值．
如图（2）：在等边三角形中，，点是的中点，是高，在 上找一点使 的值最小，做法如下：
作点关于的对称点，恰好与点重合，连接 交 于一点，则这点就是所求的点故 的最小值是多少？
（2）实践运用
如图（3）：已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径 上作出点，使 的值最小，则的值最小，则的最小值是多少？
（3）拓展延伸
如图（4）：点是四边形内一点，，，分别在边、上作出点，点，求周长的最小值．
分析：（1）察看发现
如图（2），的长为 的最小值，
∵在等边三角形 中， ，点 是 的中点
∴ ， ，
∴
；
故答案为；
（2）实践运用
如图（3），过 点作弦
，连结 交 于 点，连结 、 、、，
∵，
∴ 平分 ，即点 与点 关于 对称，
∵的度数为 ，点 是的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∵ 的长就是 的最小值．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
故答案为；
（3）拓展延伸，如图（4）．
12.如图，在边长为的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，则周长的最小值为__________．
答案：6
分析：连接，，
∵四边形是正方形，
∴点与点关于直线对称，
∴的长即为的最小值，
∵,
∴周长的最小值．
故答案为：．
13.去冬今春，济宁遭遇了年不遇的大旱，某乡镇为知道决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村和李村送水.经实地勘查后，工程职员设计图纸时，以河道上的大桥为坐标原点，以河道所在的直线为轴打造直角坐标系（如图）.两村的坐标分别为.
若从节省经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？
水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
答案：
（1）作点关于轴的对成点，连接，则点为.
设直线的函数关系式为，则
，解得.
∴当时，.
所以，水泵站建在距离大桥千米的地方，可使所用输水管道最短.
（2）作线段的垂直平分线，交于点，交轴于点，设点的坐标为.
在中，
在中，
∵，
∴，解得.
所以，水泵站建在距离大桥千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等.
14.如图，已知直线，且与之间的距离为，点到直线的距离为，点 到直线的距离为，．试在直线上找一点，在直线上找一点，满足且的长度和最短，则此时（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B
分析：作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 与点 ，过点 作 直线 ，连接 ，
∵ 到直线 的距离为 ， 与 之间的距离为 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
过点 作 ，交 于点 ，
易得 ，， ，
在 中，，
在
中， ．
故选B．
[来源:学.科.网Z.X.X.K]
15.下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：第一对折，如图2，折痕交于点；打开后，过点任意折叠，使折痕交于点，如图3；打开后，如图4；再沿折叠，如图5；打开后，折痕如图6．则折痕和长度的和的最小值是（ ）
答案：
分析：
作点关于点的对称点，连接
∴[来源:学科网ZXXK]
∴
依据两点之间线段最短，可知的最小值就是
过点作于点
在中，
∴
